標本分散は、サンプリングされたデータの分散を示し、データの散らばり具合を理解するために非常に重要な指標です。また、不偏分散と呼ばれる概念とも深く関わっています。ここでは、標本分散と不偏分散の違い、標本分散の計算方法、さらには実際のデータに基づく例を交えて詳しく解説していきます。
標本分散の定義とは？
標本分散は、サンプルデータから計算される分散であり、母集団の散らばりを推定するためのものです。標本分散は以下の式で表されます。
[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
]
ここで、
- (s^2) は標本分散、
- (n) はサンプルのサイズ、
- (x_i) は各データポイント、
- (\bar{x}) は標本平均です。
この計算式により、標本分散はデータの平均からどの程度データが散らばっているかを示します。
不偏分散とは？
不偏分散は標本データを用いて母分散を推定する際に用いられます。計算式は以下の通りです。
[
\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n}
]
不偏分散は分母を (n) とするのが特徴で、これは標本分散と異なり、母集団の真の値に対する期待値が等しくなるよう補正がなされています。
標本分散と不偏分散の違い
| 指標 | 定義 | 特徴 |
|---|---|---|
| 標本分散 | (s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n-1}) | 母集団の分散を過小評価することがある |
| 不偏分散 | (\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n}) | 母集団の分散を正確に推定する |
参考動画
標本分散の計算法
具体的な計算方法を以下に示します。
-
データセットを準備する。
- 例: (x = [5, 7, 9, 10, 12])
-
標本平均を計算する。
- 標本平均：(\bar{x} = \frac{5 + 7 + 9 + 10 + 12}{5} = 8.6)
-
偏差を計算する。
- 偏差:
- (5 – 8.6 = -3.6)
- (7 – 8.6 = -1.6)
- (9 – 8.6 = 0.4)
- (10 – 8.6 = 1.4)
- (12 – 8.6 = 3.4)
- 偏差:
-
偏差の平方を求める。
- 偏差の平方:
- ( (-3.6)^2 = 12.96 )
- ( (-1.6)^2 = 2.56 )
- ( (0.4)^2 = 0.16 )
- ( (1.4)^2 = 1.96 )
- ( (3.4)^2 = 11.56 )
- 偏差の平方:
-
これらの合計を求める。
- 合計: (12.96 + 2.56 + 0.16 + 1.96 + 11.56 = 29.2)
-
標本分散を求める。
- 標本分散: (s^2 = \frac{29.2}{5-1} = \frac{29.2}{4} = 7.3)
標本分散を用いたデータ解析
標本分散は様々な分野でデータの散らばりを理解するために利用されます。実際の研究やビジネスにおいても、サンプルの中のばらつきを把握することは重要です。
実例：製品の品質管理
製品の品質チェックでは、複数のサンプルを取り、その標本分散を計算することで、製品の一貫性を測ります。例えば、以下のようなサンプルデータが得られたとします。
| サンプル番号 | 重量(g) |
|---|---|
| 1 | 200 |
| 2 | 202 |
| 3 | 199 |
| 4 | 201 |
| 5 | 203 |
このデータを元に、標本分散を計算することで、製造プロセスにおける品質に関する重要な情報を得ることができます。
よくある質問（FAQ）
標本分散と不偏分散はいつ使うべきか？
標本分散は、測定したデータの内部ばらつきに注目する際に利用されることが一般的です。不偏分散は、母集団の特性を推定したいとき、つまり推測統計を行う際に使用します。
標本分散と標準偏差の違いは？
標本分散はデータの散らばりを二乗した値で表し、標準偏差はその平方根を取った値です。したがって、標準偏差の方が直感的に理解しやすい場合が多いです。
標本分散を計算する際の注意点は？
データセットが小さい場合、標本分散は母集団の分散を過小評価することがあります。これを補正するために、不偏分散を用いることが推奨されます。
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