分散とは、データの散らばりの度合いを表す値です。具体的には、平均から各データがどれだけ離れているかを定量的に示す指標です。分散が大きいほどデータのバラつきが大きく、小さいほどデータが平均に近いことを意味します。

分散の求め方

分散を求める基本的な方法は、下記の公式を用いることです。

[
\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i – \mu)^2
]

ここで、

• ( \sigma^2 ) = 母分散
• ( N ) = データの個数
• ( x_i ) = 各データ点
• ( \mu ) = データの平均

分散計算の流れ

1. データの平均を計算する。
2. 各データ点から平均を引いた値（偏差）を計算する。
3. 偏差を二乗する。
4. 二乗した結果を全て足し合わせる。
5. Nで割る（母集団の場合）。標本の場合はN-1で割ります。

例題

データセット：[ 4, 8, 6, 5, 3 ]

1. 平均:
   [
   \mu = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = 5.2
   ]

2. 偏差:

   値	偏差（(x_i – \mu))	偏差の二乗
   4	-1.2	1.44
   8	2.8	7.84
   6	0.8	0.64
   5	-0.2	0.04
   3	-2.2	4.84

   • 偏差の二乗の合計:
     [
     1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8
     ]

3. 分散（母分散）:
   [
   \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96
   ]

分散と標準偏差の違い

分散はデータのバラつきを表す指標ですが、標準偏差はその平方根です。つまり、分散は単位が二乗された値ですが、標準偏差は元の単位を持つため、解釈が容易です。例えば、データが点数である場合、分散の単位は点数の二乗になりますが、標準偏差は点数そのものの単位になります。

以下の表は、分散と標準偏差の関係を示しています。

注意: 指標の選択は、データの性質や分析する目的によって異なります。

データの管理と分散

分散はデータの正確な分析に欠かせない要素であり、特にビジネスや研究においては、データのばらつきを定量的に測定することで、異常値の特定や傾向の把握に役立ちます。

分散の活用例

1. 品質管理: 生産過程での不良品率を減少させるために、製品の数値データから分散を求めることで、ばらつきを把握します。
2. マーケティング: 顧客の購入金額の分散を分析することで、セグメンテーションやターゲティング戦略を立てる際の参考にします。
3. 金融: 投資ポートフォリオのリスクを評価するため、リターンの分散を計算し、危険度を測定します。

分散表の作成

分散を求める際には、データを整理するために表を作成することが有益です。以下は簡単な分散計算のための表例です。

分散の計算式

分散の計算式には、母分散と標本分散の二種類があります。どちらを使用するかはデータのタイプによります。

1. 母分散
   [
   \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i – \mu)^2
   ]

2. 標本分散
   [
   s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2
   ]

ここで、標本分散は自由度の補正を加えることで、母集団の推定をより正確に行います。

FAQ

Q1: 分散を求める際の精度を向上させる方法はありますか？
A1: 分散を求める場合、十分なサンプルサイズが必要です。少ないデータポイントの場合、偏りが生じることがありますので、データの収集を工夫し質を上げることが重要です。

Q2: 分散が0の場合はどういうこと？
A2: 分散が0の場合、すべてのデータポイントが同じ値であることを示します。データにばらつきがない状況です。

Q3: データが正規分布していない場合、分散の解釈はどうすれば良いですか？
A3: データが非正規分布の場合、強い外れ値の影響を受ける可能性があるため、分散だけでなく、他の指標（例：四分位範囲）の活用を考慮する必要があります。

分散はさまざまな分野で重要な役割を果たし、特にデータ分析においては基本的な指標です。正確な計算と適切な解釈が求められます。詳細な解説や計算方法については、以下のリンクを参考にしてください: Sci-pursuitの分散についてのまとめ。