連立不等式とは、2つ以上の不等式を組み合わせたものであり、それらの不等式をすべて満たす値の範囲を示すものです。この解がどのように求められるのか、具体的な手法を本文で詳しく説明します。

1. 連立不等式の基本

連立不等式は、一般的に次のような形をしています：

[
\begin{cases}
a_1 < x < b_1 \
a_2 < x < b_2
\end{cases}
]

この場合、解は ( x ) がどの値を取ることができるかを示します。これらの不等式を同時に満たす範囲を見つけることが連立不等式の解き方です。

1.1 不等式の例

例えば、以下のような不等式を考えます。

[
\begin{cases}
-2 < x + 1 < 3 \
2x – 5 > 3
\end{cases}
]

これを解くには、まずそれぞれの不等式を独立に解きます。

不等式1の解

[
-2 < x + 1 < 3
]

この不等式から ( x ) の範囲を求めると、次のようになります。

[
-3 < x < 2
]

不等式2の解

[
2x – 5 > 3
]
[
2x > 8 \Longrightarrow x > 4
]

1.2 制約条件の統合

ここで得られた解を合わせると、次のようになります：

• 不等式1: ( -3 < x < 2 )
• 不等式2: ( x > 4 )

この場合、解が存在しないことがわかります。なぜなら、( x ) が ( -3 < x < 2 ) の範囲内の時、同時に ( x > 4 ) の条件を満たすことができないからです。

2. 連立不等式の解き方の手順

2.1 手順1: 各不等式を解く

まずは各々の不等式を解いてしまいましょう。それぞれの不等式が解けたら、次に進みます。

2.2 手順2: 解の範囲をグラフで示す

数直線を使って、各不等式の解を視覚化します。以下はその一例です。

不等式	グラフ
-3 < x < 2
x > 4

2.3 手順3: 共通範囲の特定

最後に、数直線上でそれぞれの不等式が重なる部分を確認します。この部分が連立不等式の解となります。

3. 解の共通範囲の求め方

3.1 例題を用いた具体的な説明

次に、連立不等式の解の具体例を挙げます。

[
\begin{cases}
x + 2 > 0 \
3x – 4 < 5
\end{cases}
]

各不等式を解く

不等式1:

[
x + 2 > 0 \Longrightarrow x > -2
]

不等式2:

[
3x – 4 < 5 \Longrightarrow 3x < 9 \Longrightarrow x < 3
]

数直線上での表示

不等式	解の範囲
x > -2
x < 3

この場合、共通範囲は次のようになります：

[
-2 < x < 3
]

4. 多項式的不等式の解き方

連立不等式は、一次だけでなく二次や三次などの多項式・不等式でも扱うことができます。この場合は少し手法が異なりますが、基本的には同様の手順で解を求めることが可能です。

4.1 例: 二次不等式

考慮する内容は次の通りです：

[
\begin{cases}
x^2 – 4 < 0 \
x – 1 > 0
\end{cases}
]

不等式1:

[
x^2 – 4 < 0 \Longrightarrow -2 < x < 2
]

不等式2:

[
x – 1 > 0 \Longrightarrow x > 1
]

4.2 解の共通範囲

この場合、共通範囲は次のように決まります：

[
1 < x < 2
]

よくある質問 (FAQ)

Q1: 連立不等式の解の範囲を求める際のコツは？

A1: 数直線を使って可視化し、解の範囲を明確にすることで、重なる範囲を簡単に見つけることができます。

Q2: 解が存在しない場合はどうすればいいですか？

A2: 解が存在しないことを正しく把握することも重要です。その場合、解が存在しない理由を考えましょう。

Q3: 不等式の解法に関連する参考書やサイトは？

A3: 参考書としては「数学の教科書」などが有名ですが、実践的な情報は合格サプリで確認できます。

Q4: 数直線の書き方がわからない場合どうすれば？

A4: 数直線の書き方は、簡単な練習を通じて習得できます。参考サイトや動画をチェックすることもおすすめです。