By 中村由美 
微分 の 公式とは
微分（びぶん、英: differentiation）は、数学の中で関数の変化の割合を求める手法やその結果を示す用語です。特に、微分は関数から得られる導関数を計算する重要な役割を果たします。この微分の公式は、様々な関数を微分するための規則や法則を整理したもので、安全で確実な計算を行うために不可欠です。
微分公式の種類
微分公式は多岐にわたりますが、ここでは一般的に使用されるものをいくつかに分類し、その基本公式を示します。
| 微分の種類 | 公式 |
|---|---|
| 定数の微分 | ( f(x) = c \Rightarrow f'(x) = 0 ) |
| べき関数の微分 | ( f(x) = x^n \Rightarrow f'(x) = nx^{n-1} ) |
| 指数関数の微分 | ( f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \ln(a) ) |
| 対数関数の微分 | ( f(x) = \log_a(x) \Rightarrow f'(x) = \frac{1}{x \ln(a)} ) |
| 三角関数の微分 | ( \sin(x) \Rightarrow \cos(x) ), ( \cos(x) \Rightarrow -\sin(x) ) |
| 逆三角関数の微分 | ( \arcsin(x) \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ) |
| 積の微分 | ( (uv)’ = u’v + uv’ ) |
| 商の微分 | ( \left(\frac{u}{v}\right)’ = \frac{u’v – uv’}{v^2} ) |
| 合成関数の微分 | ( (f(g(x)))’ = f'(g(x))g'(x) ) |
参考動画
有名な定理や法則
平均値定理
平均値定理は微分の重要な応用の一つであり、区間内の少なくとも一つの点で、関数の変化率がその区間の全体の変化率に等しいことを示しています。
- 定理の内容: 関数 ( f ) が区間 [a, b] で連続かつ (a, b) で微分可能であれば、少なくとも一点 ( c ) が存在して、次の式が成り立つ。
[
\frac{f(b) – f(a)}{b – a} = f'(c)
]
ロルの定理
ロルの定理は、特に2点で同じ値を持つ関数に注目するもので、次のように定義されます。
- 定理の内容: 関数 ( f ) が区間 [a, b] で連続し、さらに ( f(a) = f(b) ) であるとする。この時、(a, b) 内の少なくとも1点 c で ( f'(c) = 0 ) が成り立つ。
| 定理名 | 定義 |
|---|---|
| 平均値定理 | 関数の急激な変化を直線で表すことができる点がある |
| ロルの定理 | 同じ値を持つ2点の間に傾きが0になる点が必ず存在する |
微分の実例
次に、いくつかの具体例を挙げて微分の公式がどのように活用されるか見てみましょう。
- 関数 ( f(x) = 3x^2 + 5x – 7 ) の微分
[
f'(x) = 6x + 5
]
- 関数 ( g(x) = e^{2x} ) の微分
[
g'(x) = 2e^{2x}
]
- 関数 ( h(x) = \sin(3x) ) の微分
[
h'(x) = 3\cos(3x)
]
微分公式一覧
ここに、基本的な微分公式を一覧で示します。
| 関数 | 微分 |
|---|---|
| ( f(x) = c ) | ( f'(x) = 0 ) |
| ( f(x) = x^n ) | ( f'(x) = nx^{n-1} ) |
| ( f(x) = e^x ) | ( f'(x) = e^x ) |
| ( f(x) = \ln(x) ) | ( f'(x) = \frac{1}{x} ) |
| ( f(x) = \sin(x) ) | ( f'(x) = \cos(x) ) |
| ( f(x) = \cos(x) ) | ( f'(x) = -\sin(x) ) |
| ( f(x) = \tan(x) ) | ( f'(x) = \sec^2(x) ) |
FAQ
Q1: 微分の重要性は？
微分は、物理学、工学、経済学など多くの分野で、非線形システムの変化を理解し、モデリングするために必要です。特に、速度や加速度、最適化問題などで用いられます。
Q2: 関数を微分する理由は？
関数の変化率を知ることで、関数の特性を理解することができます。例えば、最大値や最小値の特定、増減の傾向を把握することができます。
Q3: 微分ができない関数はあるの？
はい、微分不可能な関数もあります。例えば、絶対値関数や、特定の特異点を持つ関数などが該当します。
公式に関するさらなる情報は 数学の美しい物語 で確認できます。
